1. Are you allowed to swear an oath when fulfilling it is תלוי בדעת אחרים, when fulfilling it requires someone else’s approval.
Yes. See 47:29-30
וַיִּקְרְבוּ יְמֵי יִשְׂרָאֵל לָמוּת וַיִּקְרָא לִבְנוֹ לְיוֹסֵף וַיֹּאמֶר לוֹ אִם נָא מָצָאתִי חֵן בְּעֵינֶיךָ שִׂים נָא יָדְךָ תַּחַת יְרֵכִי וְעָשִׂיתָ עִמָּדִי חֶסֶד וֶאֱמֶת אַל נָא תִקְבְּרֵנִי בְּמִצְרָיִם. וְשָׁכַבְתִּי עִם אֲבֹתַי וּנְשָׂאתַנִי מִמִּצְרַיִם וּקְבַרְתַּנִי בִּקְבֻרָתָם וַיֹּאמַר אָנֹכִי אֶעֱשֶׂה כִדְבָרֶךָ. וַיֹּאמֶר הִשָּׁבְעָה לִי וַיִּשָּׁבַע לוֹ וַיִּשְׁתַּחוּ יִשְׂרָאֵל עַל רֹאשׁ הַמִּטָּה.
But then in 50:5-6 he had to ask Pharaoh’s permission, and he mentions the oath.
אָבִי הִשְׁבִּיעַנִי לֵאמֹר הִנֵּה אָנֹכִי מֵת בְּקִבְרִי אֲשֶׁר כָּרִיתִי לִי בְּאֶרֶץ כְּנַעַן שָׁמָּה תִּקְבְּרֵנִי וְעַתָּה אֶעֱלֶה נָּא וְאֶקְבְּרָה אֶת אָבִי וְאָשׁוּבָה.וַיֹּאמֶר פַּרְעֹה עֲלֵה וּקְבֹר אֶת אָבִיךָ כַּאֲשֶׁר הִשְׁבִּיעֶךָ.
Ramban and Seforno say he swore because he knew that Pharaoh would not give him permission to bury Yaakov outside of Mitzrayim unless he had sworn an oath to do so.
Or you can say that an oath means you will do everything in your power. It is not a guarantee.
2. Is one allowed to take an indirect route to a burial if doing so will be an honor for the deceased?
Yes. The Netizv says that this is why they eulogized Yaakov on the east side of the Yarden when they brought him from Egypt.
ויבואו עד גורן האטד אשר בעבר הירדן – באמת ההולך ממצרים מערבה דרומה של ארץ ישראל לחברון מזרחה, אין צריך להגיע לירדן כלל, אלא בהגיעו נגד חברון מעקם דרכו לצפון ובא לחברון. אבל יוסף הקיף מהלכו הלאה כדי שיתוספו במהלכו הרבה ממואב וכנענים היושבים על יד הירדן. ומזה שנינו במסכת כלים (פ״א מ״ז) ׳ומסבבים לתוכן מת עד שירצו׳, הרי דדרך לסבב בנשיאה ממקום למקום עד שמגיע למקום קבורה, והוא לכבודו של מת.
Oznaim l’Torah says they may have taken this route because they were afraid of attack by the local nations.
3. Who is the only person the Torah described as being sick. And why didn’t they call the doctors until that person had died?
Yaakov.
Because the Rof’im were undertakers.
4. Three times a person in on a bed in the parsha. One time he bends, one time he sits, and one time he lies down.
47:31 וישתחו ישראל על ראש המיטה
48:20 ויתחזק ישראל וישב על המיטה
49:33ויכל יעקב לצוות את בניו ויאסף רגליו אל המיטה
5. There are sets of two names in the parsha that have the same gematria - but with an error of one, a good example of the עם הכולל rule.
Baal HaTurim in 48:5- אפרים ומנשה בגימטריא ראובן ושמעון. But in fact, ראובן ושמעון equals 725, and אפרים ומנשה equals 726. You see you can be one off in Gematria.
6. Which Shevatim did not get a personal bracha that is recorded in this parsha.
Rashi 49:8 - Reuven, Shimon, and Levi.
The Ralbag says that he did give each a bracha, but here he was just telling them what the future held for them.
רבים יתמהו מזה לפי שכבר ימצאו מבניו שלא ברך אותם כמו הענין בראובן ושמעון ולוי עד שהוכרחו לומר שכבר ברך אותם איש כברכתו ולא נזכרו אלו הברכות ואולם מה שנזכר מזה הוא מה שהודיע אותם מה שיקרם באחרית הימים
